こんにちは、学園町教室 教室長の白澤です。
ここ数十年、『数学の未解決問題』が
話題になる機会が多くなっています。
そのうちの一つがこれです。
その名も
『コラッツ予想（別名：３ｎ＋１問題）』
コラッツ予想？？
そんな問題初めて聞く、という人も多いと思います。
内容としては小・中学生でも十分理解出来るものですが、
もう数十年も数学者を悩ませている問題なのです。
この問題の証明に、日本の企業が懸賞金（なんと１億円以上！）を
かけたということでも話題になっています。
コラッツ予想とは、１９３０年代に
ドイツの数学者ローター・コラッツによって
最初に提示された数論問題です。
それは、任意の正の整数に対して、
〇偶数の場合は2で割る
〇奇数の場合は3倍して1を足す
という操作を繰り返すと、最終的に１になる
という数式のことを指します。
つまり、コラッツは上の操作をすれば
『どんな整数も必ず1になる』と予想したわけです。
実際やってみると、手順の多さの違いはありますが
ちゃんと１になることが分かります。
例えば「５」の場合。
５・・奇数だから３倍して１を足す ⇒ １６
１６・・偶数だから２で割る ⇒ ８
８・・偶数だから２で割る ⇒ ４
４・・偶数だから２で割る ⇒ ２
２・・偶数だから２で割る ⇒ １
と、確かに１になりますね。
他にも例を挙げてみましょう。
・「１０」の場合
１０→５→１６→８→４→２→１ （６回の操作で１になります）
・「１１」の場合
１１→３４→１７→５２→２６→１３→４０→２０→１０→５→１６→８→４→２→１ （１４回の操作で１になります）
・これが「２７」になると操作の数が爆増します
２７→８２→４１→１２４→６２→３１→９４→４７→１４２→７１→２１４→１０７→３２２→１６１→４８４
→２４２→１２１→３６４→１８２→９１→２７４→１３７→４１２→２０６→１０３→３１０→１５５→４６６
→２３３→７００→３５０→１７５→５２６→２６３→７９０→３９５→１１８６→５９３→１７８０→８９０
→４４５→１３３６→６６８→３３４→１６７→５０２→２５１→７５４→３７７→１１３２→５６６→２８３
→８５０→４２５→１２７６→６３８→３１９→９５８→４７９→１４３８→７１９→２１５８→１０７９→３２３８
→１６１９→４８５８→２４２９→７２８８→３６４４→１８２２→９１１→２７３４→１３６７→４１０２→２０５１
→６１５４→３０７７→９２３２→４６１６→２３０８→１１５４→５７７→１７３２→８６６→４３３→１３００
→６５０→３２５→９７６→４８８→２４４→１２２→６１→１８４→９２→４６→２３→７０→３５→１０６→５３
→１６０→８０→４０→２０→１０→５→１６→８→４→２→１（なんと１１１回！！の操作で１になります・・・あ～、疲れた（笑））
「５５」だと２７よりもさらに多く、１１２回の操作で１になります。
それはここで表記するのも大変なので、
自身で確かめてみて下さい（笑）。
２７や５５の計算（操作）は別としても
どの数も自力で計算出来ますよね？
しかもそれほど難しい計算があるわけでもなく。
では、そんな一見すると単純な計算なのに
何故数十年も数学者を悩ませているのかというと、
それは
『無数にある数を相手にしているために、全て調べきれない！』
ということに尽きます。
計算自体は簡単なんですが、それを証明するとなると
また違った問題があるということなんですね。
実際、現在は２０桁近くの整数まで
調べられているといいますが、
このような無数にあるものを調べた場合、
怖いのは『反例（予想が成立しない例）』が
出て来ることなんです。
どれだけ大きな数まで確かめられても
予想を証明したことにはなりません。
何故なら、その先に反例が存在する
可能性があるからです。
１００個調べて成立しても、１０１個目に
反例が出て来るかもしれない。
１万個調べても、１万１個目に反例が・・・。
１００万個調べても、１００万１個目に・・・。
並み居る数学者をして、まだ全ての数に対して
予想が成り立つということを証明出来た者はいません。
操作をして１になることは示せても、
反例の可能性を０にすることが出来ていないんですね。
この予想については、入試問題でも触れられています。
実際、過去の大学入試センター試験でも出題されていますし、
ある県の公立高校入試問題でも同様に、
『７回の操作で１になる自然数は？』という問題が
出題されています。
皆さんは、この問題解けますか？
解答は
↓ ↓ ↓ ↓
Ans. ３、２０、２１、１２８
いずれにしても。
並み居る数学者が証明出来ていないんですから、
証明も簡単ではないことが分かります。
ただ、証明は難しくても、もしかしたら
計算して１にならない数を見つけることは
出来るかもしれません。
それを見つけたら、懸賞金１億は無理かも
しれませんが、大きく注目されるのは間違いないです。
チャレンジしてみてはいかが？？（笑）
