こんにちは、学園町教室 教室長の白澤です。
ここ数十年、『数学の未解決問題』が
話題になる機会が多くなっています。
そのうちの一つがこれです。
その名も
『コラッツ予想（別名：３ｎ＋１問題）』
コラッツ予想？？
そんな問題初めて聞く、という人も多いと思います。
内容としては小・中学生でも十分理解出来るものですが、
もう数十年も数学者を悩ませている問題なのです。
この問題の証明に、日本の企業が懸賞金（なんと１億円以上！）を
かけたということでも話題になっています。
コラッツ予想とは、１９３０年代に
ドイツの数学者ローター・コラッツによって
最初に提示された数論問題です。
それは、任意の正の整数に対して、
〇偶数の場合は2で割る
〇奇数の場合は3倍して1を足す
という操作を繰り返すと、最終的に１になる
という数式のことを指します。
つまり、コラッツは上の操作をすれば
『どんな整数も必ず1になる』と予想したわけです。
実際やってみると、手順の多さの違いはありますが
ちゃんと１になることが分かります。
例えば「５」の場合。
５・・奇数だから３倍して１を足す ⇒ １６
１６・・偶数だから２で割る ⇒ ８
８・・偶数だから２で割る ⇒ ４
４・・偶数だから２で割る ⇒ ２
２・・偶数だから２で割る ⇒ １
と、確かに１になりますね。
他にも例を挙げてみましょう。
・「１０」の場合
１０→５→１６→８→４→２→１ （６回の操作で１になります）
・「１１」の場合
１１→３４→１７→５２→２６→１３→４０→２０→１０→５→１６→８→４→２→１ （１４回の操作で１になります）
・これが「２７」になると操作の数が爆増します
２７→８２→４１→１２４→６２→３１→９４→４７→１４２→７１→２１４→１０７→３２２→１６１→４８４
→２４２→１２１→３６４→１８２→９１→２７４→１３７→４１２→２０６→１０３→３１０→１５５→４６６
→２３３→７００→３５０→１７５→５２６→２６３→７９０→３９５→１１８６→５９３→１７８０→８９０
→４４５→１３３６→６６８→３３４→１６７→５０２→２５１→７５４→３７７→１１３２→５６６→２８３
→８５０→４２５→１２７６→６３８→３１９→９５８→４７９→１４３８→７１９→２１５８→１０７９→３２３８
→１６１９→４８５８→２４２９→７２８８→３６４４→１８２２→９１１→２７３４→１３６７→４１０２→２０５１
→６１５４→３０７７→９２３２→４６１６→２３０８→１１５４→５７７→１７３２→８６６→４３３→１３００
→６５０→３２５→９７６→４８８→２４４→１２２→６１→１８４→９２→４６→２３→７０→３５→１０６→５３
→１６０→８０→４０→２０→１０→５→１６→８→４→２→１（なんと１１１回！！の操作で１になります・・・あ～、疲れた（笑））
「５５」だと２７よりもさらに多く、１１２回の操作で１になります。
それはここで表記するのも大変なので、
自身で確かめてみて下さい（笑）。
２７や５５の計算（操作）は別としても
どの数も自力で計算出来ますよね？
しかもそれほど難しい計算があるわけでもなく。
では、そんな一見すると単純な計算なのに
何故数十年も数学者を悩ませているのかというと、
それは
『無数にある数を相手にしているために、全て調べきれない！』
ということに尽きます。
計算自体は簡単なんですが、それを証明するとなると
また違った問題があるということなんですね。
実際、現在は２０桁近くの整数まで
調べられているといいますが、
このような無数にあるものを調べた場合、
怖いのは『反例（予想が成立しない例）』が
出て来ることなんです。
どれだけ大きな数まで確かめられても
予想を証明したことにはなりません。
何故なら、その先に反例が存在する
可能性があるからです。
１００個調べて成立しても、１０１個目に
反例が出て来るかもしれない。
１万個調べても、１万１個目に反例が・・・。
１００万個調べても、１００万１個目に・・・。
並み居る数学者をして、まだ全ての数に対して
予想が成り立つということを証明出来た者はいません。
操作をして１になることは示せても、
反例の可能性を０にすることが出来ていないんですね。
この予想については、入試問題でも触れられています。
実際、過去の大学入試センター試験でも出題されていますし、
ある県の公立高校入試問題でも同様に、
『７回の操作で１になる自然数は？』という問題が
出題されています。
皆さんは、この問題解けますか？
解答は
↓ ↓ ↓ ↓
Ans. ３、２０、２１、１２８
いずれにしても。
並み居る数学者が証明出来ていないんですから、
証明も簡単ではないことが分かります。
ただ、証明は難しくても、もしかしたら
計算して１にならない数を見つけることは
出来るかもしれません。
それを見つけたら、懸賞金１億は無理かも
しれませんが、大きく注目されるのは間違いないです。
チャレンジしてみてはいかが？？（笑）
前略
Jxivと言うプレプリントサーバーに登録しました。未だ、公表されていませんが、一人で行っているので（7所属なし）、通るかどうかもわかりません。題目はコラッツ予想を肯定する証明（An affirmative proof for Collatz conjecture）です。証明されているか確証がないです。年金生活で数学科を卒業した友人もなくなって、職場とも連絡が途絶えて、数学ができる相談できる人がおりません。ネットで見つけた方にお願いしたのですが、自身で溶きたいと断られました。教室を経営されているようなので、理解してくれるのではないかと考えています。内容は高校生を超えていないと思います。ご連絡を頂ければPDFをお送りします。
よろしくお願いします。 早々
三須 様
当教室ＨＰにお越しいただきありがとうございます！
『コラッツ予想』を肯定する証明をなされたとのこと。
その証明が正しいかどうかのチェックを・・・とご要望いただきましたが、
私どもは数学の専門家ではありませんので、真偽を確かめることが出来ません。
せっかくご要望いただいたのに、申し訳ありません。
残念ながら、今回はご要望にお応えすることが出来ませんでしたが、
これからも楽しんでいただけるような記事をアップしていきたいと考えております。
その際には、また当ＨＰにお立ち寄り下さい。
これからも是非『数学ライフ』を楽しんでいただければと思います。
学園町教室 教室長 白澤
色々、有難うございました。 その後、Jxivでは掲載を科学的論文としては説明が不十分とのことで掲載されていません。
その後、Mathlogと言うサイトで登録でき、間違いを見つけていただき、間違いを正した「コラッツ予想を肯定する証明（続報）」で一人の方と議論していますが、くたびれました。もう一人の方にGoodを頂きました。 よろしかったら、見てください。
内容は高校の数学を出ていないと思います。
三須 様
当教室ＨＰにお越しいただきありがとうございます！
議論されている所はまだ拝見していませんが、なかなか大変そうだということが文面からも伝わってきます・・・。
各々が正しいと思うことを伝えるのは、難しいことですよね。
以前もお伝えしましたが、『楽しみながら』ということが大前提だと思いますので、
決して無理はなさらずに。
また三須様の興味を引くような記事を掲載出来ればと思っています。
学園町教室 教室長 白澤